Distribución de Probabilidades

Es la probabilidad de ocurrencia de cada valor de una variable aleatoria

Distribución Binomial

Es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de ensayos o experimientos repetidos muchas veces de forma independiente entre sí con una probabilidad fija “p” de ocurrencia de éxito (ensayos de Bernoulli).

Veamos el siguiente ejemplo:

Un jugador de fútbol tiene un 70% de probabilidades de meter un penalti. Si tira tres penaltis

Distribución Normal (Gaussiana)

La distribución normal, distribución de Gauss, distribución gaussiana, distribución de Laplace-Gauss o distribución Moivre-Laplace o simplemente normalidad estadística, es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua más usada en estadística y en la teoría de probabilidades.

Algunos ejemplos de variables contínuas usadas en Antropología Física que siguen el modelo de la normal son:

• Caracteres morfológicos de individuos como la estatura
• Dimensiones osteológicas y craneométricas
• Variables de tipo nutricionales como el consumo en gramos de cierto producto
• Variables bioquímicas como el colesterol y triglicéridos
• Cardiovascular como la presión arterial
• Variables socioéconomicas como el ingreso familiar
• Varibles de aptitud física como potencia aeróbica o resistencia y fuerza, entre otras.
• Evaluación de errores cometidos al medir ciertas magnitudes o aplicar ciertos métodos

Cuando una distribución es normal, se cumplen las siguientes relaciones:

Función de Distribución (acumulada) para distribución normal

\[F_{(x)}= \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^-\frac{1}{2}(\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma})\thinspace dx\]

Comprobar normalidad de los datos

La normalidad de los datos, supone el uso de muchas pruebas estadísticas paramétricas, como hacer comparaciones ente grupos, generar modelos de estimación o aplicar métodos multivariantes, entre otros.

Por ello es necesario evaluar si los datos cumplen con la condición antes de realizar cualquier análisis.

Método para evaluar la normalidad: gráficos y pruebas estadísticas

Pruebas gráficas:

1. Histograma –> el más simple, permite apreciar la forma de la distribución
2. Gráfico Q-Q (quantile-quantil) –> compara los datos con una distribución normal teórica

Comprobar normalidad de los datos

Pruebas estadísticas:

• Son test de significación que comprueban si hay diferencias entre una distribución teórica normal y la distribución observada en los datos
• La hipótesis nula es la no diferencia con la normal
• Si la significancia de los tests es > 0.05, se puede asumir la normalidad

Las principales son:

1. Kolmogorov-Smirnov –> (con corrección de Lilliefors) se prefiere cuando las muestras son grandes (> 50)
2. Tests Shapiro-Wilk –> es la opción preferible cuando las muestras son pequeñas (< 50)

El valor p es un valor de probabilidad, por lo que oscila entre 0 y 1. El valor p nos muestra la probabilidad de haber obtenido el resultado que hemos obtenido suponiendo que la hipótesis nula H0 es cierta. Se suele decir que valores altos de p no permiten rechazar la H0, mientras que valores bajos de p sí permiten rechazar la H0.

En una prueba estadística, se rechaza la hipótesis nula H0 si el valor p asociado al resultado observado es igual o menor que un nivel de significación \(\alpha\) establecido arbitrariamente, convencionalmente 0,05 o 0,01

El Kolmogorov-Smirnov asume conocida la media y varianza poblacional, lo que, en la mayoría de los casos, es imposible conocer. Esto hace que el test sea muy conservador y poco potente. Para solventar este problema, se desarrolló una como test Lilliefors, que asume que la media y varianza son desconocidas, estando especialmente desarrollado para testear la normalidad.

Por ejemplo, usaremos la Función ks.test()

    One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  Howells$GOL
D = 0.049109, p-value = 0.238
alternative hypothesis: two-sided

Ahora usaremos la corrección del Lilliefors con la función lillie.test() del paquete “nortest”

    Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  Howells$GOL
D = 0.049109, p-value = 0.01274

La prueba de normalidad de Shapiro-Wilk es aplicable cuando se analizan muestras compuestas por menos de 50 elementos (muestras pequeñas). El test de Shapiro-Wilks plantea la hipótesis nula que una muestra proviene de una distribución normal.

Para este ejemplo usaremos la función shapiro.test()

    Shapiro-Wilk normality test

data:  Howells$GOL
W = 0.99503, p-value = 0.169

Si queremos saber si una variable contínua se ajusta a normal según una variable categórica, usaremos byf.shapiro()

    Shapiro-Wilk normality tests

data:  GOL by Sex 

       W p-value
F 0.9913  0.2254
M 0.9912  0.1922

Transformaciones de las variables

• Cuando las muestras no poseen una distribución normal, es factible efectuar ciertas transformaciones sobre estas muestras antes de aplicar un test t

• Las correcciones en este caso deben ser las mismas para ambas muestras (grupos), por lo que es necesario decidir qué transformaciones producirán los mejores efectos para corregir las asimetrías en ambas distribuciones

• El objetivo es generar distribuciones lo más normalizadas posibles (simétricas), de forma tal que la media y la desviación estándar se transformen en medidas útiles para generar inferencias

Las principales transformaciones que se ocupan para corregir la forma de una distribución son:

1. Transformación por raíz cuadrada –>\(\sqrt[2]{x}\)
2. Transformación logarítmica –> \(\log(x)\)
3. Transformación recíproca negativa –> \(\dfrac{1}{x} \thinspace ó \thinspace \dfrac{1}{x^2}\)
4. Transformación cuadrática o cúbica –> \(x^2 \thinspace ó \thinspace x^3\)

DISTRIBUCIÓN T-TEST

La prueba t de Student, prueba t de estudiante, o T-Test, plantea el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Se aplica cuando la población estudiada sigue una distribución normal, pero el tamaño muestral es demasiado pequeño como para que el estadístico en el que está basada la inferencia esté normalmente distribuido.

Usó el seudónimo de Student para publicar el resultado de su propuesta de test, ya que contenía datos de una cervecería en donde trabajaba dado que se quería mantener en secreto todos los detalles de la producción y la relación de los empleados con la cerveza.

DISTRIBUCIÓN T-TEST

La distribución ji-cuadrado o chi-cuadrado es una distribución de probabilidad cuyo símbolo es \(\chi^2\). En concreto, la distribución chi-cuadrado es la suma del cuadrado de k variables aleatorias independientes con distribución normal.

La distribución chi-cuadrado tiene k grados de libertad. Por lo tanto, una distribución chi-cuadrada tiene tantos grados de libertad como la suma de los cuadrados de variables con distribución normal que representa.

La distribución chi-cuadrado también se conoce como distribución de Pearson.

La distribución chi-cuadrado se utiliza mucho en inferencia estadística, por ejemplo, se usa en el contraste de hipótesis y en los intervalos de confianza, comprobar la independencia entre variables y bondad de ajuste a una distribución teórica

Características de la distribución chi-cuadrado

• La media de una distribución chi-cuadrado es igual a sus grados de libertad.

\(X \sim \chi_{k}^2\) –> La variable aleatoria X, tiene un distribución chi-cuadrado con k grados de libertad.

\(E[X] = k\)

• La varianza de una distribución chi-cuadrado es equivalente al doble de los grados de libertad de la distribución

\(Vas(X)=2*k\)

• Como consecuencia del teorema del límite central, la distribución chi-cuadrado puede aproximarse por una distribución normal si k es suficientemente grande.

• La función de densidad: \(P[X = x]=\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)}x^{k/2}e^{-x/2}\)

• La función de distribución acumulada: \(P[X \leq x]=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\)